Любое государство развивается успешно, — впрочем, это относится и к жизни любого отдельного человека, — если дела идут хорошо и у его соседей; жизнь наук в этом отношении аналогична жизни государств, и их преуспеяние зависит от порядка как в них самих, так и в их отношениях с другими науками. Ясно понимая это, наиболее известные представители математики всегда высказывали большой интерес к поддержанию закона и порядка в соседних науках и для пользы самой математики развивали отношения с этими соседними науками, в частности с физикой и философией. Сущность этих отношений и основа их плодотворности могут быть показаны более отчетливо, если коротко обрисовать тот общий метод исследования, который занимает все более и более важное место в современной математике, — я имею в виду аксиоматический метод.
Если соединять факты некоторой специфической области более или менее исчерпывающим образом, то мы быстро убедимся, что эти факты могут быть выстроены в определенном порядке. Этот порядок устанавливается неизменно с помощью некоторой понятийной структуры  такой, в которой существует связь между индивидуальными объектами данной области знания и понятиями структуры и между теми же фактами в данной области знания и логическими отношениями среди понятий. Понятийная структура есть нечто иное, как теория данной области знания.
Именно таким образом геометрические факты организуются в геометрию, арифметические факты - теорию чисел, статические, механические, электродинамические факты - в теорию статики, механики, электродинамики, а факты из области физики газов - в теорию газа. То же самое верно для областей знания термодинамики, геометрической оптики, элементарной теории излучения, передачи тепла или даже для теории вероятности и для теории множеств. Также хорошо это подтверждается в таких специфических областях чистой математики, как теория поверхностей, теория уравнений Галуа, теория простых чисел и даже в некоторых областях знания, лишь отдаленно связанных с математикой, таких, как определенные разделы психофизики или экономики.
Если мы рассмотрим имевшиеся теории более тщательно, то во всех случаях увидим, что в основании их понятийной структуры лежат именно те несколько предположений о данной области знания, которые достаточны для построения из них полной структуры знания в этой области в соответствии с логическими принципами.
Утверждение линейности уравнения плоскости, таким образом, является достаточным в геометрии, а то, что ортогональное преобразование координат точек достаточно для получения полноты обширного знания в геометрии евклидова пространства, показывается исключительно посредством анализа. Аналогично законы и правила вычисления для целых чисел достаточны для задания теории чисел. Такая же роль придается закону параллелограмма сил в статике, нечто подобное можно сказать и о дифференциальных уравнениях движения Лагранжа в механике; в свою очередь, уравнения Максвелла в электродинамике учитывают условия поведения электронов. Термодинамика полностью построена посредством задания понятия функции энергии и определения температуры и давления как проистекающих из их измерения, энтропии и объема. В центре элементарной теории излучения находится закон Кирхгоффа об отношении между излучением и поглощением; сходную  роль играет закон Гаусса при вычислении вероятности, теорема энтропии как отрицательный логарифм вероятности событий в теории газа, представление элемента дуги квадратичной дифференциальной формой, теорема существования корней в теории уравнений, теорема распределения и частоты нулей дзета-функции Римана, являющаяся фундаментальной теоремой в теории простых чисел.
Рассматриваемые с обозначенных позиций, такие теоремы могут быть рассмотрены как аксиомы отдельных областей знания. Это означает, что успешное развитие отдельных областей знания основывается на значительном возрастании полноты понятийной структуры. Эти исходные позиции выделения теорем и- методов как аксиом доминируют в чистой математике, и именно благодаря им столь мощно развились геометрия, арифметика, теория функций и анализ в целом.
В упомянутых случаях проблема построения отдельных областей знания получила свое решение, однако это решение было, так сказать, пробным (приблизительным) . Но по мере дальнейшего развития любой науки становится все более необходимым целенаправленное выделение ее основополагающих предположений в чистом виде, осознания их в качестве аксиом и «помещение» их в «фундамент» данной области знания. Так произошло с «доказательствами» линейности уравнения плоскости и ортогональности преобразования, выражающего движение, с законами арифметических вычислений, с параллелограммом сил, с уравнениями движения Лагранжа и с законами Кирхгоффа излучения и поглощения, с принципом энтропии и с теоремой о существовании корней уравнения.
Но критическое рассмотрение этих «доказательств» заставляет прийти к выводу, что это еще не доказательства в собственном смысле слова, а скорее этапы продвижения к более глубинным предположениям (утверждениям), которые, в свою очередь, могут быть рассмотрены как аксиомы более основополагающие, чем те предположения (утверждения), которые имелись первоначально. Таковы, в частности, современные аксиомы геометрии, арифметики, статики, механики, теории излучения и термодинамики. Эти аксиомы есть «более глубоко лежащий пласт? чем предшествующие, непредумышленно найденные (первые) основания отдельных областей знания. Механизм аксиоматического метода приводит к более глубоким основаниям знания, ибо это действительно необходимо для более совершенного его построения.
Если теоретическая основа конкретной науки — это представляющая ее понятийная структура, то для упорядочивания и развития исходной области знания ей необходимо соответствовать двум основным требованиям: она должна, во-первых, предлагать общий взгляд на зависимость или независимость утверждений теории и, во-вторых, гарантировать непротиворечивость всех утверждений теории. Эти пункты обязательны для аксиом каждой теории. Рассмотрим вначале первый из них.
Аксиома параллельности в геометрии является классическим примером исследования независимости аксиом. Евклид отрицательно ответил на вопрос о том, является ли утверждение о параллельности зависимым от других аксиом, поскольку он поместил его среди аксиом. Евклидов метод исследования стал типичным для представителей аксиоматического исследования, и со времен Евклида геометрия стала модельным примером аксиоматической науки в целом.
Классическая механика предоставляет другой пример исследования независимости аксиом. Лагранжево уравнение движения, как оно всегда рассматривается, способно действовать как аксиома механики — до тех пор, пока это бесспорно не делает механику более полной при общей формулировке произвольных сил и произвольных вторичных состояний. Более тщательное рассмотрение показывает, однако, что произвольные силы, как, впрочем, и произвольные вторичные состояния, не необходимы для конструирования механики и что, следовательно, система предположений может быть сокращена. Это понимание ведет, с одной стороны, к аксиоматической системе
Больцмана, который предполагал только силы, а именно центральные силы, а с другой - к аксиоматической системе Герца, который отрицал силы и считал достаточными только вторичные свойства, а именно  фиксированные взаимосвязи. Эти две аксиоматические системы формируются на глубинном уровне аксиоматизации механики.
Сходный случай возникает, если представить как аксиому теорему о нулях дзета-функции Римана в теории простых чисел. Доказательство этой теоремы будет необходимым для движения к более глубинному уровню чисто арифметических аксиом, что будет лучшей гарантией сохранности важнейших следствий.
Специальный интерес для аксиоматического осмысления представляет вопрос о зависимости утверждений в области действия аксиомы непрерывности.
В теории действительных чисел показано, что аксиома измерения, так называемая аксиома Архимеда, независима от всех остальных аксиом арифметики. Как хорошо известно, этот факт существенно значим для геометрии, но мне представляется, что не меньший интерес он представляет и для физики, ибо ведет нас к следующему результату: к рассмотрению измерений и досягаемости небесных тел возможно подходить посредством соединения вместе земных досягаемостей, измерения небесных расстояний земными мерами, и в то же время можно расстояния внутри атомов выражать в терминах метрического измерения. Данное положение можно понять не только как логическое следствие утверждений о конгруэнтности треугольников и геометрических конфигураций, но и как результат реальной деятельности. Действительность аксиомы Архимеда в реальности в том смысле, в каком это было сейчас отмечено, нуждается в экспериментальном подтверждении точно так же, как утверждение о сумме углов треугольника в обычном смысле, в общем, я хотел бы сформулировать аксиому непрерывности в физике следующим образом: «Если данному физическому утверждению предписана некоторая произвольная степень точности, то затем может быть установлен малый диапазон, в пределах которого предположения, предшествующие исходному утверждению, могут свободно изменяться таким образом, что отклонения от утверждения не превысят предписанного уровня точности». Эта аксиома ценна лишь тем, что вытекает из самой сущности эксперимента; и она всегда принималась физиками, хотя никогда и не формулировалась ими прямо
Если кто-то выведет, примерно так же, как Планк, вторую теорему Хита из аксиомы невозможности построения машины перпетуум мобиле второго рода, то эта сформулированная мною аксиома непрерывности будет им необходимо употреблена.
Гамель очень интересным способом показал, что в соответствии с принципом вполне упорядочиваемости континуума аксиома непрерывности необходима для доказательства закона параллельных сил в основаниях статфизики — по крайней мере для удобного выбора других аксиом.
Аксиомы классической механики могут быть сформулированы более глубоко, если предположить непрерывное движение и использовать аксиому непрерывности в последовательном коротком едином прямолинейном разбитом на куски импульсом движении, а затем использовать принцип максимума Бертрана как добавочную механическую аксиому; в соответствии с ней реально совершающееся движение после каждого толчка (удара) происходит таким образом, что кинетическая энергия системы максимально противоположна всем движениям, совместимым с принципом сохранения энергии.
В новейших способах обоснования физики, особенно в электродинамике, появляется не что иное, как теория континуума сама не себе, и соответственно берется непрерывность в широком пространстве, которое я не могу представлять здесь, так как соответствующие исследования еще не завершены.
Теперь займемся анализом второй из названных выше проблем, а именно требованием непротиворечивости аксиом. Это требование огромной значимости, поскольку существование противоречия в теории является проявлением ее нестабильности.
Понимание внутренней непротиворечивости сопряжено с трудностями даже в давно принятых и процветающих теориях. Я подразумеваю «Umkehr» и «Wieder — kehreinwand» [аргументы против больцмановской Н-теоремы, принадлежащие Лошмидту и Цермело — прим. перев.] в кинетической теории газов. Часто случается так, что внутренняя непротиворечивость теории достаточна для ее объяснения до тех пор, пока глубокое математическое развитие Необходимо для доказательств. Например, возьмем проблему из элементарной теории теплообмена, точнее, распределение температуры внутри однородного тела, поверхность которого хорошо сохраняет внутри температуру, варьирующуюся от места к месту. Тогда требование существования температурного равновесия содержится в факте, не противоречащем теории. Для того, однако, чтобы это понять, необходимо доказать, что хорошо известная проблема определения граничных значений в теории потенциала всегда разрешима, ибо эта проблема показывает, что распределение температур, удовлетворяющее уравнению теплообмена, возможно вообще.
Конечно, всего этого для физики вообще недостаточно, однако, если утверждения теории находятся в гармонии друг с другом, то тогда они еще могут встретиться с требованием не противоречить утверждениям соседних областей знания.
Так же как было показано выше, аксиомы элементарной теории излучения добавляют к фундаментальному закону излучения и поглощения Кирхгоффа еще один специальный закон отражения и преломления простых световых лучей, а именно закон того, что если два луча естественного света равной энергии падают со стороны на пространство, разделенное двумя посредниками в таких направлениях, что один луч после испускания, а другой после отражения принимают общее направление, то луч, получившийся после их объединения, опять представляет луч натурального света той же энергии. Этот закон, как фактически ясно, не противоречит оптике, но он может быть выведен как следствие из электромагнитной теории света.
Результаты кинетической теории газов, как хорошо известно, находятся в полном соответствии с термодинамикой.
Таким же образом электромагнитная инерция и эйнштейновская гравитация совместимы с соответствующими понятиями в классической механике постольку, поскольку они предполагаются пограничными случаями в более общих понятиях.
С другой стороны, современная теория кванторов и возникающее знание внутренней  структуры атомов ведут к закону, который решительно противостоит электродинамике в том виде, в котором она была построена с помощью уравнений Максвелла; и необходимо признать, что современная электродинамика требует качественно новых оснований.
Можно понять, что устранение противоречий в физических теориях всегда осуществляется путем селекции аксиом, и сложность заключается в подборе ситуации, где все известные физические законы должны быть логически выводимы.
Положение, однако, изменяется, когда противоречия имеют место в чисто теоретических областях знания. Теория множеств предоставляет классический пример такого случая, например парадокс множества всех множеств, который восходит к самому Кантору. Этот парадокс столь серьезен, что такие выдающиеся математики, как Кронекер и Пуанкаре, пришли к отрицанию теории множеств в целом (отрицанию одного из наиболее плодотворных и могущественных разделов математики) и любого оправдания ее существования.
Аксиоматический метод тем не менее находит средство для устранения таких опасных обстоятельств. Поскольку он выдвигает подходящие аксиомы, ограничивающие, с одной стороны, произвол в определениях множеств самих по себе и, с другой допустимость использования их элементов специфическим образом, Цермело удалось развить теорию множеств таким образом, что указанный парадокс был устранен и посредством ограничений смысл и приложимость теории множеств остались прежними.
Во всех упомянутых случаях проблема состояла в противоречиях, которые были выявлены в процессе развития теории, и их устранение обусловило потребность в модификации аксиоматических систем. Однако, для того чтобы избежать противоречий, недостаточно просто восстановить пошатнувшуюся репутацию математики как наиболее строгой науки. Принципиальное требование аксиоматики должно быть направлено в будущее, а именно на установление того обстоятельства, что противоречия вообще не могут быть возможны в области знания, базирующейся на установленной системе аксиом.
Исходя из этого требования, в «Основаниях геометрии» я доказал совместимость выделенных аксиом, для которых, как показано, каждое противоречие в дедукции из геометрических аксиом необходимо сказывалось бы также и в системе арифметики действительных чисел.
Не вызывает сомнений, что для областей физического знания внутренняя совместимость также редуцируется к совместимости аксиом арифметики. Аналогично совместимость аксиом элементарной теории излучения отражена в конструировании аксиоматической системы для теории с аналитически независимыми частями, где совместимость анализа является одной из предпосылок.
Вполне приемлемо, чтобы такие же допущения принимались при построении математической теории в целом. Если мы примем за аксиому, например, теорему существования корней в теории уравнений Галуа или же теорему о существовании нулевых точек дзета-функции Римана в теории простых чисел, то доказательство непротиворечивости аксиоматической системы состоит только в аналитическом доказательстве теоремы существования корней или теоремы дзета-функции - и на первое время безопасность теории обеспечена.
Таким же образом вопрос непротиворечивости аксиоматической системы действительных чисел сводится путем использования понятий теории множеств к тому же вопросу для целых чисел. Это сведение является заслугой теории иррациональных чисел, созданной Вейерштрассом и Дедекиндом.
Только в двух случаях, а именно в случае аксиоматики целых чисел и в случае оснований теории множеств, эта попытка сведения к другой специфической области знания невыполнима, так как за логикой «не стоит» дисциплины, к которой можно было бы обратиться.
Однако, поскольку доказательство непротиворечивости является задачей, которая не может быть отменена,  становится необходимым аксиоматически построить саму логику, а затем установить, что теория чисел и теория множеств •являются только частями логики.
По этому пути, подготавливаемому долгое время, и не в последнюю очередь глубокими исследованиями Фреге, в конце концов стремительно продвинулся великий математик и логик Рассел, в результате им была создана аксиоматика логики, которая увенчала собой работу по созданию теории аксиоматизации в целом.
Тем не менее ее завершение потребовало многих новых работ. При ближайшем рассмотрении мы в настоящее время видим, что вопросы о непротиворечивости теории целых чисел и теории множеств не являются изолированными, а входят в огромный массив наиболее трудных эпистемологических вопросов, имеющих специальную математическую окраску. Характеризуя состав этого массива, я упомяну проблему принципиальной решаемости каждого математического вопроса, проблему дополнительной проверки результатов математического исследования, вопрос критериев простоты математических доказательств, вопрос взаимоотношений содержания и формализма в математике и логике и, наконец, проблему разрешимости произвольных математических проблем с помощью конечного числа операций.
До тех пор пока все вопросы такого типа не будут поняты и объяснены, невозможно удовлетвориться достигнутым уровнем аксиоматизации логики.
Последний из указанных вопросов, а именно вопрос о разрешимости с помощью конечного числа операций, является наиболее хорошо известным и часто обсуждаемым, ибо он глубоко затрагивает сущность математического мышления. Я хотел бы сейчас обратить на него внимание и рассмотреть несколько частных математических проблем, в которых он играет существенную роль.
В теории алгебраических инвариантов фундаментальная теорема гласит, что существует конечное количество (рациональных) целых инвариантов, с помощью которых могут быть представлены все остальные инварианты. Первое общее доказательство, данное мною, удовлетворяет, я уверен, нашим требованиям и действительно обладает ясностью и простотой. Однако это доказательство невозможно модифицировать таким образом, чтобы получить в точно очерченном и ограниченном процессе конкретный полный набор инвариантов данной системы или даже продвинуться в конкретном его получении. Скорее, здесь нужен совершенно другой вид исследования и новые принципы для того, чтобы понять, что строение полной системы инвариантов требует только тех операций, количество которых конечно и которые допускают конечное нахождение с помощью вычислений.
Аналогичная ситуация наблюдается в теории поверхностей. В геометрии четырехмерных поверхностей фундаментальным вопросом является то, каково максимальное количество попарно пересекающихся выпуклых поверхностей может в них содержаться.
Первое, что тут можно ответить, это сформулировать утверждение, что таких случаев может быть только конечное количество; это может быть легко обосновано с помощью теории функций, например, так: предположим, что таких покрытий бесконечное количество, и тогда выберем момент времени, когда эта часть пространства будет покрыта. Объединение этого бесконечного количества выбранных точек даст точку такую странную, что она не будет принадлежать алгебраической поверхности.
Это использование теории функций, без сомнения, ведет к заданию ограничений для количества покрытий, однако здесь невозможно найти количество пересечений и в конце концов показать, что количество покрытий не может быть более чем 12.
Второй метод, полностью отличный от- первого, в противоположность ему не является «прикладным» и не может быть модифицирован таким образом, чтобы показать, возможно ли покрытие четырехмерной поверхности 12 различными типами покрытий.
Поскольку четырехмерная четвертичная форма имеет 35 однородных коэффициентов, то мы можем ее представить как специальную четырехмерную поверхность в 34-мерном проективном пространстве. Дискриминант четырехмерной четвертичной фермы в своих собственных коэффициентах обладает степенью 108; если его приравнять нулю, то он представляет поверхность порядка 108 в 34-мерном пространстве. Поскольку коэффициенты дискриминанта сами по себе - специального вида целые числа, то топологический характер поверхности, описываемой дискриминантом, очевидно определяется в соответствии с правилами, которые хорошо известны для двух— и трехмерного пространства, так что мы можем быть точно осведомлены о природе и значении отдельных секций, на которые поверхность дискриминанта разделяет 34-мерное пространство. Итак, все четырехмерные поверхности представлены точками этих секций, которые действительно обладают равным числом покрытий, и теперь возможно определить посредством конечного количества сложных и хлопотных вычислений, где существует и где не существует четырехмерная поверхность с покрытием меньшим или равным 12.
Геометрическое рассмотрение дает нам третий путь поиска ответа на вопрос нахождения максимального количества покрытий четырехмерной поверхности, доказывая возможность разрешения вопроса через конечное количество операций. Аналогичным образом к проблеме такого же ранга .сводится задача определения десятичного выражения числа с точностью до 10 (в 10 в 10) степени — задача, которая может быть, без сомнения, решена, однако решение которой до сих пор неизвестно.
Для того чтобы понять, что 11 покрытий для четырехмерной поверхности невозможны, а 10 покрытий действительно имеют место, вероятно, необходимо проницательное и глубокое исследование в области алгебраической геометрии, произведенное Рохом. Данный (четвертый) метод, возможно, предоставит полное решение проблемы.
Эти специальные исследования показывают, сколь различными могут быть методы доказательства, приложенные к одной и той же проблеме; они также предполагают необходимость изучения сущности математического доказательства самого по себе для последующего решения вопросов вроде того, разрешима ли проблема с помощью конечного количества операций- вообще.
Поставленные вопросы заключают в себе принципы, о которых я говорил выше, и из которых только последний из числа названных был связан с проблемой разрешимости с помощью конечного числа операций. Это свидетельствует о несомненной важности и достижимости для нас нового поля исследований; приступить к освоению данного поля мы должны, по моему мнению сделав концепцию математического доказательства самостоятельным объектом исследования, точно так же как астроном должен принимать в расчет свое местоположение, физик - рассматривать используемый в теории аппарат, а философ — отвергать метафизические представления о причинности в отрыве от реальных причинно-следственных отношений. Осуществление этой программы, конечно, является делом будущего.
В заключение я хотел бы суммировать мое общее понимание аксиоматического метода в нескольких строках. Я уверен: все, что может быть объектом научного «исследования в целом, и постольку, поскольку оно созревает для оформления в теорию, прибегает к аксиоматическому методу и через него косвенно к математике. Обращаясь вперед, по направлению к более глубокому пласту аксиом, в дополнительном понимании мы достигаем более глубокого проникновения в сущность научного мышления и еще более ясно осознаем единство нашего знания. В свидетельствах аксиоматического метода, как представляется, математика призвана играть лидирующую роль в науке в целом.